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已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F
题目详情
已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）又由点M在准线上，得
=2故
=2，∴c=1，从而a=
所以椭圆方程为
+y2=1；
（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0
即（x-1）2+(y−
)2=
+1，
其圆心为（1，
），半径r=
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=
=
所以
=
，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=5
（Ⅲ）设N（x0，y0），则
=（x0-1，y0），
| a2 |
| c |
| 1+c2 |
| c |
| 2 |
所以椭圆方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0
即（x-1）2+(y−
| t |
| 2 |
| t2 |
| 4 |
其圆心为（1，
| t |
| 2 |
|
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=
| r2−1 |
| t |
| 2 |
| |3−2t−5| |
| 5 |
| t |
| 2 |
所求圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=5
（Ⅲ）设N（x0，y0），则
| FN |
|
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