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(2014•福建模拟)定义:如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”
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(2014•福建模拟)定义:如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.若函数h(x)=lnx(x∈[M,+∞))是保三角形函数,求M的最小值为______.
▼优质解答
答案和解析
首先证明当M≥2时,函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
则h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
因为a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
即lna+lnb>lnc.
同理可证明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
所以lna,lnb,lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数…13分
(ii)其次证明当0<M<2时,h(x)=lnx(x∈[M,+∞))不是保三角形函数,
因为0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某个三角形的三条边长,
而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能为某个三角形的三边长,所以h(x)=lnx 不是保三角形函数.
所以,当M<2时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数.
综上所述:M的最小值为2
对任意一个三角形三边长a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
则h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
因为a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
即lna+lnb>lnc.
同理可证明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
所以lna,lnb,lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数…13分
(ii)其次证明当0<M<2时,h(x)=lnx(x∈[M,+∞))不是保三角形函数,
因为0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某个三角形的三条边长,
而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能为某个三角形的三边长,所以h(x)=lnx 不是保三角形函数.
所以,当M<2时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数.
综上所述:M的最小值为2
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