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宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?
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宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?
▼优质解答
答案和解析
如图,设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0<θ<
),
设另一走廊的宽为y,∵AB=
,BC=8a−
,∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ−
(0<θ<
)
依题意必存在一个适当的0值使y最小.
由y′(θ)=8acosθ−
=8acosθ−
令y'=0得cos3θ=
,得csoθ=
,θ=
,
当cosθ<
时,y'<0,当cosθ>
时,y'>0,
∴当cosθ=
,即θ=
时,ymin3
a,即另一走廊的宽度至少是3
a
π |
2 |
设另一走廊的宽为y,∵AB=
a |
cosθ |
a |
cosθ |
asinθ |
cosθ |
π |
2 |
依题意必存在一个适当的0值使y最小.
由y′(θ)=8acosθ−
asin2θ+acos2θ |
cos2θ |
a |
cos2θ |
令y'=0得cos3θ=
1 |
8 |
1 |
2 |
π |
3 |
当cosθ<
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当cosθ=
1 |
2 |
π |
3 |
3 |
3 |
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