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三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱和底面所成的角都相等,则顶点在底面三角形上的射影是底面三角形的()A.外心和内心B.内心C.垂心D.外心和垂心
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三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱和底面所成的角都相等,则顶点在底面三角形上的射影是底面三角形的( )
A. 外心和内心
B. 内心
C. 垂心
D. 外心和垂心
A. 外心和内心
B. 内心
C. 垂心
D. 外心和垂心
▼优质解答
答案和解析
设顶点P在平面ABC的射影O,如图连接OA,OB,OC,
∵侧棱和底面所成的角都相等,
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO,
∵PO⊥底面ABC,
PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC,
所以O为三角形的外心.
又三棱锥的三条侧棱两两垂直,
则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面,
则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边,
过顶点向底面做垂线,连接底面顶点和垂足,根据线面垂直定理得到底面的高线,
∴射影必是底面三角形的垂心,
故选D.
∵侧棱和底面所成的角都相等,
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO,
∵PO⊥底面ABC,
PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC,
所以O为三角形的外心.
又三棱锥的三条侧棱两两垂直,
则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面,
则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边,
过顶点向底面做垂线,连接底面顶点和垂足,根据线面垂直定理得到底面的高线,
∴射影必是底面三角形的垂心,
故选D.
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