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如图1,已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形.(1)求证:平行四边形PQRS是矩形.(2)如图2,如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD,在AB、CD上分别取点P、S,连接PS,将Rt△SAP绕正
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如图1,已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形.
(1)求证:平行四边形PQRS是矩形.
(2)如图2,如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD,在AB、CD上分别取点P、S,连接PS,将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR,从而得四边形PQRS.试判断四边形RQRS能否变化成矩形?若能,设PA=x,SA=y,请说明x、y具有什么关系时,四边形PQRS是矩形;若不能,请说明理由.
(1)求证:平行四边形PQRS是矩形.
(2)如图2,如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD,在AB、CD上分别取点P、S,连接PS,将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR,从而得四边形PQRS.试判断四边形RQRS能否变化成矩形?若能,设PA=x,SA=y,请说明x、y具有什么关系时,四边形PQRS是矩形;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵平行四边形PQRS内接于⊙O,
∴∠Q+∠S=180°.
又∵∠Q=∠S,
∴∠Q=90°,
∴平行四边形PQRS是矩形.
(2)∵Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称,
∴QS与PR被O点平分,四边形PQRS为平行四边形.
若平行四边形PQRS变成矩形,不妨设∠QPS=90°.则∠BPQ+∠APS=90°.
又∵∠APS+∠ASP=90°,
∴∠BPQ=∠ASP,
∴△BPQ∽△ASP.
∴BP:BQ=AS:AP,
即 (a-x):(a-y)=y:x,
整理得(x-y)(x+y-a)=0,
∴x=y或x+y=a.
∴当x=y或x+y=a时,
可证得△BPQ∽△ASP,此时有∠QPS=90°,
从而得平行四边形PQRS是矩形.
∴∠Q+∠S=180°.
又∵∠Q=∠S,
∴∠Q=90°,
∴平行四边形PQRS是矩形.
(2)∵Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称,
∴QS与PR被O点平分,四边形PQRS为平行四边形.
若平行四边形PQRS变成矩形,不妨设∠QPS=90°.则∠BPQ+∠APS=90°.
又∵∠APS+∠ASP=90°,
∴∠BPQ=∠ASP,
∴△BPQ∽△ASP.
∴BP:BQ=AS:AP,
即 (a-x):(a-y)=y:x,
整理得(x-y)(x+y-a)=0,
∴x=y或x+y=a.
∴当x=y或x+y=a时,
可证得△BPQ∽△ASP,此时有∠QPS=90°,
从而得平行四边形PQRS是矩形.
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