己知抛物线与x轴交于A-1,0B3,0两点,与y轴交于0,1.E是线段BC上一个动点（与点B,C不重合）过E作ED垂直X轴于点D,交抛物线于点F（1）这条抛物线上是否存在点F,使以F.E.C.为顶点的三角形是等腰直角

Question

己知抛物线与x轴交于A-1,0 B3,0两点,与y轴交于0,
1.E是线段BC上一个动点（与点B,C不重合）过E作ED垂直X轴于点D,交抛物线于点F （1）这条抛物线上是否存在点F,使以F.E.C.为顶点的三角形是等腰直角三角形 （2）求三角形CEF的边CE上高的最大值,并求出此时三角形CEF的面积

Answer 1

(1),抛物线的两点式为y=k(x-a)(x-b),又为抛物线过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),所以抛物线的方程为:y=-(x+1)(x-3),因为可以根据画出的图可知,只有角CFE才能为直角,所以CF垂直于DF,所以CF平行于X轴,因为C(0,3),所以F(x,3),3=-(x+1)(x-3),解得:x=0或2,所以F(2,3),BC的方程为y+x=3,E(2,y),y=1,所以EF=3-1=CF=2,所以存在F点(2,3).(2)设F点为(m,-m^2+2m+3)所以F到CE(x+y=3)