已知点C（0,1）,A,B是抛物线Y=X^2上不同于原点的相异的两动点,且向量OA点向量OB=0一问：证明向量AC与量AB共线二问：若向量AM与向量MB共线且向量OM与向量AB点积=0,求点M的轨迹方程

Question

已知点C（0,1）,A,B是抛物线Y=X^2上不同于原点的相异的两动点,且向量OA点向量OB=0 一问：证明向量AC与
量AB共线 二问：若向量AM与向量MB共线且向量OM与向量AB点积=0,求点M的轨迹方程

Answer 1

(1). 设AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2)
OA·OB=0 即x1x2+y1y2=0
即x1x2+(x1x2)^2=0
显然x1x2≠0
所以x1x2=-1
联立AB与抛物线的方程,消y,得：
x^2-kx-b=0
由韦达定理得：x1x2=-b=-1
所以b=1
AB: y=kx+1
所以x=0,y=1恒是y=kx+1的解
所以AB恒过C
所以A,B,C三点共线
(2). 因为A,M,B三点共线
所以 可设M(x0,y0),其中y0=kx0+1
OM=(x0,y0)
因为直线AB的方向向量为(1,k)
所以令(x0,y0)·(1,k)=0即可
得：x0+ky0=0
又因为y0=kx0+1
消k得：x0^2+y0^2-y0=0
所以M的轨迹方程为x^2+y^2-y0=0