作椭圆x的平方除以a的平方+y的平方除以b的平方=1,(a>b>o)的大圆x的平方+y的平方=a的平方,P是椭圆上任意一点,F2为右焦点,求证：以PF2为直径的圆与大圆相内切

Question

作椭圆x的平方除以a的平方+y的平方除以b的平方=1,(a>b>o)的大圆x的平方+y的平方=a的平方,P是椭圆上任意一点,F2为右焦点,求证：以PF2为直径的圆与大圆相内切

Answer 1

三角形ABC中,B（4,0）,C（—4,0）,动点A满足sinB—sinC=（1/2）sinA .（1）A的轨迹方程 .（2）A到直线y=2x的距离的最小值 .（3）过点F（4,0）的直线l与点A的轨迹交于M,N两点,已知OR=OM+ON（OR,OM,ON是向量）,求点R的轨迹方程 .在三角形ABC中,BC=a=8 AC=b AB=c .R为△ABC外接圆半径.sinB=b/2R sinC=c/2R sinA=a/2R.∴（b/2R）-（c/2R）=a/4R.b-c=a/2=4.点A到两个定点B、C距离之差为一个定值4,∴A的轨迹是一个双曲线..x＾/a＾-y＾/b＾=1.a=2 c=4 b=2√3.（x＾/4）-（y＾/12）=1.（2）：A（x1,y1）.过A点,双曲线切线L方程：.（xx1/4）-（yy1/12）=1.L：y=（3x1/y1）x-（12/y1）.L与直线y=2x平行时,A到直线y=2x的距离d最短..3x1/y1=2.y1=3x1/2.（x1＾/4）-（9x1＾/12）=1.x1=±4 y1=±6.dman=|4-12|/√（1+4）=（8√5）/5=|-4+12|/√（1+4）.（3）过点F（4,0）的直线l与点A的轨迹交于M,N两点,已知OR=O M+ON（OR,OM,ON是向量）,求点R的轨迹方程..M(x1,y1),N(x2,y2) R(x,y).向量OR=向量OM+向量ON=(x1+x2,y1+y2)=(x,y).x=x1+x2.y=y1+y2.过点F（4,0）的直线l:y=k(x-4).联立：.y=k(x-4) （x＾/4）-（y＾/12）=1.(3-k＾)x＾+8xk＾-16k＾-12=0.x1+x2=8k＾/(k＾-3)=x.y1+y2=k[(x1+x2)-8]=24k/(k＾-3)=y.x/y=k/3 k=3x/y.带入:24k/(k＾-3)=y.[(x-4)＾/16]-[y＾/48]=1.