如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，-a）（a、b均大于0）；（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA

Question

如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，-a）（a、b均大于0）；
（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；
（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；
（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．

Answer 1

（1）证明：过C点、D点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N．
∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0），
∴OM=ON=a，CM=DN=b，
∴△OCM≌△ODN（SAS），
∴∠COM=∠DON．
∵∠DON+∠MOD=90°，
∴∠COM+∠MOD=90°，
∵OC=OD=√(a2+b2)，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC=45°；

（2）连接DA．
在△OCB与△ODA中，

OB＝OA

∠BOC＝∠AOD＝90°−∠COA

OC＝OD

，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA．
∵OC=OD=2，
∴CD=2√(2)．
∵AD²+CD²=1+8=9，AC²=9，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；

（3）作CF⊥OA，F为垂足，由勾股定理得
CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，
设EF=x，可得5²-x²=7²-（3+x）²，
解得x=(5)/(2)．
在Rt△CEF中，得CF=√(52−((5)/(2))2)=(5)/(2)√(3)，
∴OF=CF=(5)/(2)√(3)，
∴△OCA的面积=(1)/(2)•OA•CF=(1)/(2)×((5)/(2)√(3)+(5)/(2)+3)×(5)/(2)√(3)=(75+55√(3))/(8)．