叉积引出共面已知aXb+bXc+cXa=0,求证a、b、c三向量共面.注意a,b,c是向量，然后X代表叉积啊。既然要求证共面，怎么还可能是四面体呢？能否更清楚的说一下为什么是体积吗？两向量的叉积

题目详情

叉积引出共面
已知aXb + bXc + cXa = 0,求证a、b、c三向量共面.
注意a,b,c是向量，然后X代表叉积啊。既然要求证共面，怎么还可能是四面体呢？
能否更清楚的说一下为什么是体积吗？两向量的叉积不还是等于向量吗？
两向量叉积还是向量，不是面积，不过你还是给了我灵感，谢了！

▼优质解答

答案和解析

嗯,确实不是体积,而是有向面积,我错了.
首先(b-a)x(c-a)=bxc-axc-bxa+axa=axb+bxc+cxa,
所以你那个式子等于两个向量(b-a)与(c-a)的叉积.
b-a与c-a的叉积,其大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积,
也就是a,b,c的端点组成的三角形的面积的两倍.
现在这面积等于0,意味着这三个端点共线,所以三个向量共面了.
所以从条件得出的更强的结论是,这三向量,其终点在同一直线上.
嗯,其实我是说向量的模是面积,至于向量的方向,你不妨就设为面积的方向.所以我说"有向面积".

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