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如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点必须在第一象限内,并
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如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点必须在第一象限内,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究: (1)当△AOC和△BCP全等时,求出t的值; (2)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论; (3)①设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围. ②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标. |
▼优质解答
答案和解析
(1)△AOC和△BCP全等,则AO=BC=1, 又AB=
所以t=AB-BC=
(2)OC=CP. 证明:过点C作x轴的平行线,交OA与直线BP于点T、H. ∵PC⊥OC, ∴∠OCP=90°, ∵OA=OB=1, ∴∠OBA=45°, ∵TH ∥ OB, ∴∠BCH=45°,又∠CHB=90°, ∴△CHB为等腰直角三角形, ∴CH=BH, ∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°, ∴四边形OBHT为矩形,∴OT=BH, ∴OT=CH, ∵∠TCO+∠PCH=90°, ∠CPH+∠PCH=90°, ∴∠TCO=∠CPH, ∵HB⊥x轴,TH ∥ OB, ∴∠CTO=∠THB=90°,TO=HC,∠TCO=∠CPH, ∴△OTC≌△CHP, ∴OC=CP; (3)①∵△OTC≌△CHP, ∴CT=PH, ∴PH=CT=AT=AC•cos45°=
∴BH=OT=OA-AT=1-
∴BP=BH-PH=1-
∴ b=1-
②t=0时,△PBC是等腰直角三角形,但点C与点A重合,不在第一象限,所以不符合, PB=BC,则
解得t=1或t=-1(舍去), ∴当t=1时,△PBC为等腰三角形, 即P点坐标为:P(1,1-
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