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设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：∯Σx2yz2dydz-xy2z2dzdx+z（1+xyz）dxdy=V．（a＞0）
题目详情
设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：
x2yz2dydz-xy2z2dzdx+z（1+xyz）dxdy=V．（a＞0）
| ∯ |
| Σ |
▼优质解答
答案和解析
证明：由高斯公式，有
左边积分=
(2xyz2−2xyz2+1+2xyz)dxdydz＝V+2
xyzdxdydz
∵
xyzdxdydz＝
sinθcosθdθ
r3dr
zdz＝
sin2θ
⋅
r3dr
zdz＝0
∴左边积分=V=右边．
左边积分=
| ∭ |
| Ω |
| ∭ |
| Ω |
∵
| ∭ |
| Ω |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a2−r2 0 |
| 1 |
| 2 |
| | | 2π 0 |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a2−r2 0 |
∴左边积分=V=右边．
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