求曲面4z=x^2+y^2含于球面x^2+y^2+z^2=12内部部分曲面的面积?

Question

求曲面4z=x^2+y^2含于球面x^2+y^2+z^2=12内部部分曲面的面积?

Answer 1

∵4z=x²+y² ==>z=(x²+y² )/4
则 αz/αx=x/2,αz/αy=y/2
∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αxy)²]dxdy
=√(4+x²+y²)dxdy/2
故 所求曲面的面积=∫∫dS (D表示所求面积的曲面)
=∫∫√(4+x²+y²)dxdy/2 (S表示D在xoy平面的投影：x²+y²=48)
=∫dθ∫√(4+r²)rdr
=π∫√(4+r²)d(4+r²)
=π(2/3)[52^(3/2)-4^(3/2)]
=16π(13√13-1)/3.