早教吧作业答案频道 -->数学-->
不等式问题x,y,z∈R+,且x+y+z=z.试证明x,y,z∈R+,且x+y+z=z.试证明:对x2+y2+z2+k√xyz,1.0<k≤√3\2时,(3+√3k)\9≤x2+y2+z2+k√xyz<12.√3\2<k<2√3时,1\2<x2+y2+z2+k√xyz<13.k≥2√3时,1\2<x2+y2+z2+k√xyz≤(3
题目详情
不等式问题x,y,z∈R+,且x+y+z=z.试证明
x,y,z∈R+,且x+y+z=z.试证明:对x2+y2+z2+k√xyz ,
1.0<k≤√3 \2时 ,(3+√3 k)\9≤x2+y2+z2+k√xyz<1
2.√3 \2<k<2√3时,1 \2<x2+y2+z2+k√xyz<1
3.k≥2√3时,1\2<x2+y2+z2+k√xyz≤(3+√3 k)\9
x+y+z=1,抱歉
x,y,z∈R+,且x+y+z=z.试证明:对x2+y2+z2+k√xyz ,
1.0<k≤√3 \2时 ,(3+√3 k)\9≤x2+y2+z2+k√xyz<1
2.√3 \2<k<2√3时,1 \2<x2+y2+z2+k√xyz<1
3.k≥2√3时,1\2<x2+y2+z2+k√xyz≤(3+√3 k)\9
x+y+z=1,抱歉
▼优质解答
答案和解析
其实只需证明k = √3/2与k = 2√3的情形:
(1) 1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz).
(2) x²+y²+z²+2√3·√(xyz) ≤ 1.
当0 < k ≤ √3/2时,x²+y²+z²+k√(xyz) = (1-2k/√3)(x²+y²+z²)+2k/√3·(x²+y²+z²+√3/2·√(xyz))
≥ (1-2k/√3)(x+y+z)²/3+2k/√3·(1/2) (前一项由Cauchy不等式,后一项由(1))
= (3+√3·k)/9.
当2√3 ≤ k时,x²+y²+z²+k√(xyz) = (x²+y²+z²+2√3·√(xyz))+(k-2√3)√(xyz)
≤ 1+(k-2√3)√((x+y+z)/3)³ (前一项由(2),后一项由均值不等式)
= (3+√3·k)/9.
而对√3/2 < k,由(1)有1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz) < x²+y²+z²+k√(xyz).
对k < 2√3,由(2)有x²+y²+z²+k√(xyz) < x²+y²+z²+2√3·√(xyz) ≤ 1.
综合起来就证明了1,2,3各情形.
(1)的证明(目前没想到好办法,用调整法):
由x+y+z = 1,不妨设z ≤ 1/3,对固定的z考虑:
2x²+2y²+2z²+√(3xyz) = 2(x+y)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy) = 2(1-z)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy).
其作为关于√(xy)的二次函数,对称轴为√(xy) = √(3z)/8.
由均值不等式√(xy) ≤ (x+y)/2 = (1-z)/2,知√(xy)的取值范围为(0,(1-z)/2].
而z ≤ 1/3,有√(3z)/8 ≤ 1/8 < 1/6 ≤ (1-z)/4.
因此该二次函数在区间(0,(1-z)/2]上的最小值在√(xy) = (1-z)/2处取得.
即2(1-z)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy) ≥ 2(1-z)²-(1-z)²+2z²+√(3z)·(1-z)/2
= 1-2z+3z²+√(3z)/2-z√(3z)/2.
设t = √(3z) > 0,换元z = t²/3得(2t^4-t³-4t²+3t)/6+1 = 1+t(t-1)²(2t+3)/6 ≥ 1.
即2x²+2y²+2z²+√(3xyz) ≥ 1,也即1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz).
(2)的证明用到一个简单的不等式.
由(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥ 0展开得a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca.
进而得(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) ≥ 3(ab+bc+ca) (*).
x²+y²+z²+2√3·√(xyz)
= x²+y²+z²+2√(3xyz(x+y+z))
= x²+y²+z²+2√(3((xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)))
≤ x²+y²+z²+2√((xy+yz+zx)²) (在不等式(*)中取a = xy,b = yz,c = zx)
= x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
= (x+y+z)²
= 1.
(1) 1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz).
(2) x²+y²+z²+2√3·√(xyz) ≤ 1.
当0 < k ≤ √3/2时,x²+y²+z²+k√(xyz) = (1-2k/√3)(x²+y²+z²)+2k/√3·(x²+y²+z²+√3/2·√(xyz))
≥ (1-2k/√3)(x+y+z)²/3+2k/√3·(1/2) (前一项由Cauchy不等式,后一项由(1))
= (3+√3·k)/9.
当2√3 ≤ k时,x²+y²+z²+k√(xyz) = (x²+y²+z²+2√3·√(xyz))+(k-2√3)√(xyz)
≤ 1+(k-2√3)√((x+y+z)/3)³ (前一项由(2),后一项由均值不等式)
= (3+√3·k)/9.
而对√3/2 < k,由(1)有1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz) < x²+y²+z²+k√(xyz).
对k < 2√3,由(2)有x²+y²+z²+k√(xyz) < x²+y²+z²+2√3·√(xyz) ≤ 1.
综合起来就证明了1,2,3各情形.
(1)的证明(目前没想到好办法,用调整法):
由x+y+z = 1,不妨设z ≤ 1/3,对固定的z考虑:
2x²+2y²+2z²+√(3xyz) = 2(x+y)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy) = 2(1-z)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy).
其作为关于√(xy)的二次函数,对称轴为√(xy) = √(3z)/8.
由均值不等式√(xy) ≤ (x+y)/2 = (1-z)/2,知√(xy)的取值范围为(0,(1-z)/2].
而z ≤ 1/3,有√(3z)/8 ≤ 1/8 < 1/6 ≤ (1-z)/4.
因此该二次函数在区间(0,(1-z)/2]上的最小值在√(xy) = (1-z)/2处取得.
即2(1-z)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy) ≥ 2(1-z)²-(1-z)²+2z²+√(3z)·(1-z)/2
= 1-2z+3z²+√(3z)/2-z√(3z)/2.
设t = √(3z) > 0,换元z = t²/3得(2t^4-t³-4t²+3t)/6+1 = 1+t(t-1)²(2t+3)/6 ≥ 1.
即2x²+2y²+2z²+√(3xyz) ≥ 1,也即1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz).
(2)的证明用到一个简单的不等式.
由(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥ 0展开得a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca.
进而得(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) ≥ 3(ab+bc+ca) (*).
x²+y²+z²+2√3·√(xyz)
= x²+y²+z²+2√(3xyz(x+y+z))
= x²+y²+z²+2√(3((xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)))
≤ x²+y²+z²+2√((xy+yz+zx)²) (在不等式(*)中取a = xy,b = yz,c = zx)
= x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
= (x+y+z)²
= 1.
看了 不等式问题x,y,z∈R+,...的网友还看了以下:
求解一道较难的不等式证明题目x,y,z∈[0,1]求证(1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+ 2020-04-27 …
如何证明一个二次曲面是一个柱面不要笼统的说按定义,求具体一些例题:证明(x+y)(y+z)=如何证 2020-06-15 …
一道证明题!已知;X+Y+Z=1/X+1/Y+1/Z=1求证:X.Y.Z至少有一个为1.注:它的等 2020-07-04 …
高数请教一道关于多元复合函数微分的证明题可微函数f(x,y,z)满足方程:xfx’+yfy’+zf 2020-08-02 …
已知2^x=5^y=10^z,证明1/x+1/y=1/z 2020-10-30 …
类比学习:有这样一个命题:设x、y、z都是小于1的正数,求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x 2020-10-31 …
x、y、z属于正实数,且xyz=1,求1/(x^2(y+1)+1)+1/(y^2(z+1)+1)+1 2020-10-31 …
用柯西不等式证明问题已知x,y,z>0求证x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2 2020-11-01 …
有理数X.Y.Z互不相等且X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/X,求证XYZ的平方等于一有理数X.Y.Z 2020-11-07 …
是否存在正整数a,b,c(a《b《c)使a的x次方=b的y次方=c的z次方=70的w次方≠1,1/w 2020-11-08 …