一道求二面角的几何题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E1为A1D1的中点（1）求二面角E1-AB-C的大小（2）求二面角C1-B1D1-A的大小

Question

一道求二面角的几何题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E1为A1D1的中点
（1）求二面角E1-AB-C的大小 （2）求二面角C1-B1D1-A的大小

Answer 1

1 因D在面ABC上,而且DA垂直AB,
又AB垂直平面ADD1A1,故AB垂直E1A,所以角DAE1就是E1-AB-C的二面角.
从E1向AD作垂线E1F1,垂足为F1,可在直角三角形E1F1A中算得,tan角E1AF1=2,
故角E1AF1=arctan2.即二面角E1-AB-C为arctan2.
2 取B1C1的中点G,连接AG、C1G
在三角形AB1D1中因AB1和AD1都是大小相同的正方形的对角线,故AB1=AE1,三角形AB1D1是等腰三角形,B1D1上的中线AG垂直于B1D1.
又三角形C1B1D1是等腰直角三角形,斜边B1D1上的中线C1G也垂直于B1D1,
因此角AGC1就是二面角C1-B1D1-A.
连接A1G,可得角A1GA是角AGC1的补角,即角AGC1=180度-角AGA1.
而在直角三角形AA1G中,A1G=A1B1sin45度=A1B1*(√2)/2=A1A*(√2)/2,
所以,tan角A1GA=AA1/A1G=√2,角A1GA=arctan√2.
因此,二面角C1-B1D1-A的大小就是180°-arctan√2.