如图Rt△ABC中有两种作内接正方形的方法．图（1）作的内接正方形面积为441，（2）中作的内接正方形的面积为440，则AC+BC的值为（）A．456B．458C．460D．462

Question

如图Rt△ABC中有两种作内接正方形的方法．图（1）作的内接正方形面积为441，（2）中作的内接正方形的面积为440，则AC+BC的值为（　　）


A．456
B．458
C．460
D．462

Answer 1

如图，设BC=a，AC=b，AB=c．
在图（1）中，∵四边形EFCD是正方形，
∴EF∥BC，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴EF：BC=AF：AC，21：a=（b-21）：b，
∴a+b=(1)/(21)ab．①
∵S_△AEF：S_△ABC=（EF：BC）²，即S_△AEF：(1)/(2)ab=441：a²，
∴S_△AEF=(441b)/(2a)，
同理，S_△BDE=(441a)/(2b)．
在图（2）中，∵四边形MNPQ是正方形，
∴MQ∥AB，
∴RT△QCM∽Rt△ACB，
∴S_△QCM：S_△ACB=（QM：AB）²，即S_△QCM：(1)/(2)ab=440：c²，
∴S_△QCM=(220ab)/(c2)，
同理，易求S_△APQ=(440b)/(2a)，S_△BMN=(440a)/(2b)，
∵S_△AEF+S_△BDE+S_{正方形CDEF}=S_△APQ+S_△CMQ+S_△BMN+S_{正方形MNPQ}=S_△ABC，
∴(441b)/(2a)+(441a)/(2b)+441=(440b)/(2a)+(220ab)/(c2)+(440a)/(2b)+440，
∴(b)/(2a)+(a)/(2b)+1=(220ab)/(c2)，
∴（a+b）²=(440a2b2)/(c2)，
将①代入上式，整理得c²=440×441．
∵（a+b）²=a²+b²+2ab=440×441+42（a+b），
∴（a+b）²-42（a+b）-440×441=0，
解得：a+b=462（另一个解-420舍去），
∴AC+BC=462．
故选D．