在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A-B）=3sin2B．若C＝π3，则ab=（）A．12B．3C．12或3D．3或14

Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A-B）=3sin2B．若C＝(π)/(3)，则(a)/(b)=（　　）

A．(1)/(2)
B．3
C．(1)/(2)或3
D．3或(1)/(4)

Answer 1

∵A+B=π-C，
∴sinC=sin（π-C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，
∴sinC+sin（A-B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB-cosAsinB）=6sinBcosB，
化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA-3sinB）=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB．
①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=(π)/(2)，
∵C＝(π)/(3)，∴A=(π)/(2)−C=(π)/(6)，
因此sinA=sin(π)/(6)=(1)/(2)，由三角函数的定义得sinA=(a)/(b)=(1)/(2)；
②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以(a)/(b)=3．
综上所述，(a)/(b)的值为(1)/(2)或3．
故选：C