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已知:如图,在△ABC中,A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a、b、c满足b=a−c+c−a−2,BD⊥AC于D,交y轴于E.(1)如图1,求E点的坐标;(2)如图2,过A点作AG⊥BC于G,若∠BCO=30°,求证:AG+
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已知:如图,在△ABC中,A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a、b、c满足b=
+
−2,BD⊥AC于D,交y轴于E.
(1)如图1,求E点的坐标;
(2)如图2,过A点作AG⊥BC于G,若∠BCO=30°,求证:AG+GC=CB+BO;
(3)如图3,P为第一象限任意一点,连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点,在射线PQ上截取PH=PA,连接CH,F为CH的中点,连接OP,当P点运动时(PQ不过点C),∠OPF的大小是否发生变化?若不变,求其度数;若变化,求其变化范围.
a−c |
c−a |
(1)如图1,求E点的坐标;
(2)如图2,过A点作AG⊥BC于G,若∠BCO=30°,求证:AG+GC=CB+BO;
(3)如图3,P为第一象限任意一点,连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点,在射线PQ上截取PH=PA,连接CH,F为CH的中点,连接OP,当P点运动时(PQ不过点C),∠OPF的大小是否发生变化?若不变,求其度数;若变化,求其变化范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,∵b=
+
−2
∴a-c≥0,c-a≥0
∴a=c,b=-2,B(-2,0)
∴OA=OC,∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°,∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°,
∴OB=OE=2
∴E(0,2)
(2)证明:如图2,∵AG⊥BC,CO⊥AB
∴S△ABC=
OC•AB=
BC•AG
∴AG=
∵∠BCO=30°,∠BOC=90°
∴BC=2BO=4,CO=
=2
∴OA=OC=2
,AB=2+2
∴AG=
=
a−c |
c−a |
∴a-c≥0,c-a≥0
∴a=c,b=-2,B(-2,0)
∴OA=OC,∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°,∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°,
∴OB=OE=2
∴E(0,2)
(2)证明:如图2,∵AG⊥BC,CO⊥AB
∴S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AG=
OC•AB |
BC |
∵∠BCO=30°,∠BOC=90°
∴BC=2BO=4,CO=
BC2−BO2 |
3 |
∴OA=OC=2
3 |
3 |
∴AG=
OC•AB |
BC |
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