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问题探究:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系,学习小组成员已经添加了辅助线.(1)请叙述辅助线的添法,并完成探究过程;探
题目详情
问题探究:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系,学习小组成员已经添加了辅助线.
(1)请叙述辅助线的添法,并完成探究过程;
探究应用1:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB上,以AD为边作等边△ADE,连接BE,为探究线段BE与DE之间的数量关系,组长已经添加了辅助线:取AB的中点F,连接EF.
(2)线段BE与DE之间的数量关系是______;并说明理由;
探究应用2:如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB的延长线上,以AD为边作等边△ADE,连接BE.
(3)线段BE与DE之间的数量关系是______,并说明理由.
(1)请叙述辅助线的添法,并完成探究过程;
探究应用1:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB上,以AD为边作等边△ADE,连接BE,为探究线段BE与DE之间的数量关系,组长已经添加了辅助线:取AB的中点F,连接EF.
(2)线段BE与DE之间的数量关系是______;并说明理由;
探究应用2:如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB的延长线上,以AD为边作等边△ADE,连接BE.
(3)线段BE与DE之间的数量关系是______,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,作CB的垂直平分线分别交AB、BC于P、D,
∴PC=PB,
∴∠PCB=∠B=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=60°,∠ACP=60°,
∴∠APC=∠A=∠ACP=60°,
∴△ACP是等边三角形,
∴AC=AP=PC.
∴AC=AP=PB=
AB,
即AC=
AB;.
(2)BE=DE.
理由:如图2,∵F是AB的中点,
∴AF=
AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=
AB,∠CAB=60°.
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3,
∴∠1=∠2.
在△ACD和△AFE中,
,
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE=90°,
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴BE=DE.
故答案为:BE=DE;
(3)BE=DE.
理由:如图3,取AB的中点F,连接EF,
∴AF=
AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=
AB,∠CAB=60°.
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2,
∴∠1=∠3.
在△ACD和△AFE中,
,
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE=90°,
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴BE=DE.
故答案为:BE=DE.
∴PC=PB,
∴∠PCB=∠B=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=60°,∠ACP=60°,
∴∠APC=∠A=∠ACP=60°,
∴△ACP是等边三角形,
∴AC=AP=PC.
∴AC=AP=PB=
1 |
2 |
即AC=
1 |
2 |
(2)BE=DE.
理由:如图2,∵F是AB的中点,
∴AF=
1 |
2 |
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=
1 |
2 |
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3,
∴∠1=∠2.
在△ACD和△AFE中,
|
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE=90°,
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴BE=DE.
故答案为:BE=DE;
(3)BE=DE.
理由:如图3,取AB的中点F,连接EF,
∴AF=
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2 |
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=
1 |
2 |
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2,
∴∠1=∠3.
在△ACD和△AFE中,
|
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE=90°,
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴BE=DE.
故答案为:BE=DE.
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