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给出下面的数表序列:其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.(Ⅰ)写出表4,验证表4各行中的数
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给出下面的数表序列: |
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其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. (Ⅰ)写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明); (Ⅱ)每个数表中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,…,记此数列为{b n },求和: 。 |
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答案和解析
(Ⅰ)表4为 , 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列, 将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列, 简证如下(对考生不作要求) 首先,表n(n≥3)的第1行1,3,5,…,2n-1是等差数列,其平均数为 , 其次,若表n的第k(1≤k≤n-1)行a 1 ,a 2 ,…,a n-k+1 是等差数列,则它的第k+l行a 1 +a 2 ,a 2 +a 3 ,…,a n-k +a n-k+1 也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是 , 由此可知,表n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列. (Ⅱ)表n的第1行是1,3,5,…,2n-1,其平均数是 , 由(Ⅰ)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n·2 k-1 ), 于是,表n中最后一行的唯一一个数为b n =n·2 n-1 , 因此, , 故 。 |
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