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从1、2、3、…、100这100个数中任意挑出51个数字,证明在这51个数中,一定:(1)有2个数互质;(2)有2个数的差为50;(3)有8个数,它们的最大公约数大于1.
题目详情
从1、2、3、…、100这100个数中任意挑出51个数字,证明在这51个数中,一定:
(1)有2个数互质;
(2)有2个数的差为50;
(3)有8个数,它们的最大公约数大于1.
(1)有2个数互质;
(2)有2个数的差为50;
(3)有8个数,它们的最大公约数大于1.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为相邻的两个自然数一个奇数、一个是偶数,相差1,
所以这两个数必定是互质数,1、2、3、…、100这100个数中,
考虑最优情况:从1到100这100个数中,挑出的50个数字分别是2、4、6、8、10…100,都不互质,
则再任意挑出1个数,则必定与这50个偶数中一个数相邻,是互质数,
(2)构造如下50个抽屉:(1,51),(2,52),(3,53)…(50,100);
从这50组中选出51个数,由抽屉原理,必有一组选了两个数,而这两个数的差就是50,据此得证.
(3)把1到100这100个数分组(一个数可以在不同的组内):第一组:2的倍数,即{2,4,…,100};
第二组:3的倍数,即{3,6,…,99};
第三组:5的倍数,即{5,10,…,100};
第四组:7的倍数,即{7,14,…,98};
第五组:1和大于7的质数,即{1,11,13,…,97}.
第五组中一共有22个数,所以选出的51个数中至少有29个数在第一组到第四组中,
根据抽屉可以知道总会有8个数在第一组到第四组的某一组中,这8个数的最大公约数大于1,据此得证.
所以这两个数必定是互质数,1、2、3、…、100这100个数中,
考虑最优情况:从1到100这100个数中,挑出的50个数字分别是2、4、6、8、10…100,都不互质,
则再任意挑出1个数,则必定与这50个偶数中一个数相邻,是互质数,
(2)构造如下50个抽屉:(1,51),(2,52),(3,53)…(50,100);
从这50组中选出51个数,由抽屉原理,必有一组选了两个数,而这两个数的差就是50,据此得证.
(3)把1到100这100个数分组(一个数可以在不同的组内):第一组:2的倍数,即{2,4,…,100};
第二组:3的倍数,即{3,6,…,99};
第三组:5的倍数,即{5,10,…,100};
第四组:7的倍数,即{7,14,…,98};
第五组:1和大于7的质数,即{1,11,13,…,97}.
第五组中一共有22个数,所以选出的51个数中至少有29个数在第一组到第四组中,
根据抽屉可以知道总会有8个数在第一组到第四组的某一组中,这8个数的最大公约数大于1,据此得证.
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