求老师指导,若矩阵A与B相似,m是一个正整数,证A^m与B^m相似

Question

求老师指导,若矩阵A与B相似,m 是一个正整数,证A^m与B^m相似

Answer 1

利用反证法,根据矩阵相似的定义：

证明：
假设m-1时结论成立,即A^m-1与 B^m-1相似,有

P-1A^m-1P=B^m-1
成立.
又因为A与B相似,有

P^-1AP=B
所以
B^m= B^m-1B
= P^-1A^m-1P P^-1AP
= P^-1A^mP

即m时结论也成立,A^m与B^m相似.