设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

Question

设 , 分别是椭圆 的左右焦点，M是C上一点且 与x轴垂直，直线 与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且 ，求a,b.

Answer 1

设 , 分别是椭圆 的左右焦点，M是C上一点且 与x轴垂直，直线 与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且 ，求a,b.

（1） ；（2） ， .

试题分析：本题第（1）问，可结合 与x轴垂直，由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心率；对第（2）问，观察到 是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运算及椭圆方程，可求出a,b.
试题解析：（1）由题意知， ，所以 ，由勾股定理可得： ，由椭圆定义可得： = ，解得C的离心率为 。
（2）由题意，原点O为 的中点， ∥y轴，所以直线 与y轴的交点D（0，2）是线段 的中点，故 ，即 ，由 得 ，设 ，由题意知 ，则
，即 ，代入C的方程得 ，将 及 代入 得： ，解得 ， .
【易错点】对第（1）问，较容易，大部分同学都能计算出；对第（2）问,一部分同学考虑不到中位线，
容易联立方程组求解而走弯路，并且容易出现计算失误.