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已知函数f(x)=loga(x+2),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1)(1)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由;(2)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=loga(x+2),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1)
(1)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值范围.
(1)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由
求得-2<x<2,故函数的定义域为{x|-2<x<2}.
再根据f(-x)+g(-x)=loga(-x+2)+loga(2+x)=g(x)+f(x),
故函数f(x)+g(x)为偶函数.
(2)原不等式化为:loga(4−x2)<0,
当0<a<1时,不等式等价于:4-x2>1,即x2<3,求得此时x的范围是{x|−
<x<
}.
当a>1时,不等式等价于:0<4-x2<1,
求得此时x的范围是{x|
<x<2或者−2<x<−
}.
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再根据f(-x)+g(-x)=loga(-x+2)+loga(2+x)=g(x)+f(x),
故函数f(x)+g(x)为偶函数.
(2)原不等式化为:loga(4−x2)<0,
当0<a<1时,不等式等价于:4-x2>1,即x2<3,求得此时x的范围是{x|−
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当a>1时,不等式等价于:0<4-x2<1,
求得此时x的范围是{x|
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