已知函数f（x）=2x2-ax+a2-4，g（x）=x2-x+a2-8，a∈R．（1）当a=1时，解不等式f（x）<0；（2）若对任意x>0，都有f（x）>g（x）成立，求实数a的取值范围；（3）若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈

Question

已知函数f（x）=2x²-ax+a²-4，g（x）=x²-x+a²-8，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）<0；
（2）若对任意x>0，都有f（x）>g（x）成立，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得不等式f（x₁）>g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1时，f（x）=2x²-x-3，
令f（x）<0，得：（2x-3）（x+1）<0，解得：-1(3)/(2)；
（2）若对任意x>0，都有f（x）>g（x）成立，
即x²+（1-a）x+4>0在x>0恒成立，
令h（x）=x²+（1-a）x+4>0，（x>0），
△=（1-a）²-16<0即-3<a<5时，
h（x）和x轴无交点，开口向上，符合题意，
△≥0时，解得：a≥5或a≤-3，
只需

h(0)=4>0

-(1-a)/(2)<0

，解得：a<1，
综上：a<5；
（3）若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得不等式f（x₁）>g（x₂）成立，
即只需满足f（x）_min>g（x）_max，x∈[0，1]，
g（x）=x²-x+a²-8，对称轴x=(1)/(2)，g（x）在[0，(1)/(2)）递减，在（(1)/(2)，1]递增，
∴g（x）_max=g（0）=g（1）=a²-8，
f（x）=2x²-ax+a²-4，对称轴x=(a)/(4)，
①(a)/(4)≤0即a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）_min=f（0）=a²-4>g（x）_max=a²-8恒成立，
②0<(a)/(4)<1即0<a<4时，f（x）在[0，(a)/(4)）递减，在（(a)/(4)，1]递增，
f（x）_min=f（(a)/(4)）=(7)/(8)a²+4，g（x）_max=a²-8，
∴(7)/(8)a²+4>a²-8，解得：0<a<2√(6)，
③(a)/(4)≥1即a≥4时，f（x）在[0，1]递减，
f（x）_min=f（1）=a²-a-2，g（x）_max=a²-8，
∴a²-a-2>a²-8，解得：4≤a<6，
综上：a∈（-∞，2√(6)）∪[4，6）．