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已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;(2)当
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已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵PQ⊥AQ,
∴∠AQP=90°=∠ABC,
在△APQ与△ABC中,
∵∠AQP=90°=∠ABC,∠A=∠A,
∴△AQP∽△ABC.
(2) 在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5.
∵∠QBP为钝角,
∴当△PQB为等腰三角形时,
(I)当点P在线段AB上时,如题图1所示.
∵∠QBP为钝角,
∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=PQ,
由(1)可知,△AQP∽△ABC,
∴
=
,即
=
,解得:PB=
,
∴AP=AB-PB=3-
=
;
(II)当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示.
∵∠QBP为钝角,
∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P,
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,
∴∠AQB=∠A,
∴BQ=AB,
∴AB=BP,点B为线段AP中点,
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为
或6.
∴∠AQP=90°=∠ABC,
在△APQ与△ABC中,
∵∠AQP=90°=∠ABC,∠A=∠A,
∴△AQP∽△ABC.
(2) 在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5.
∵∠QBP为钝角,
∴当△PQB为等腰三角形时,
(I)当点P在线段AB上时,如题图1所示.
∵∠QBP为钝角,
∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=PQ,
由(1)可知,△AQP∽△ABC,
∴
PA |
AC |
PQ |
BC |
3-PB |
5 |
PB |
4 |
4 |
3 |
∴AP=AB-PB=3-
4 |
3 |
5 |
3 |
(II)当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示.
∵∠QBP为钝角,
∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P,
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,
∴∠AQB=∠A,
∴BQ=AB,
∴AB=BP,点B为线段AP中点,
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为
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