设函数y=-x3+x2，x<ealnx，x≥e的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（）A.（-1，1e）B.

Question

设函数y=

-x3+x2，x<e

alnx，x≥e

的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（　　）

A. （-1，

(1)/(e)）

B. （0，

(1)/(e+1)]

C. （0，

(1)/(e)]

D. （0，1）

Answer 1

假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t>0），则Q（-t，t³+t²），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴

.

OP

•

.

OQ

=0，即-t²+f（t）（t³+t²）=0 ①．
若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0<t<e，则f（t）=-t³+t²代入①式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，
代入①式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0，
即(1)/(a)=（t+1）lnt ②，令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
则h′（x）=lnx+1+(1)/(x)>0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，
∵t≥e，∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．
∴对于0<a≤(1)/(e+1)，方程②总有解，即方程①总有解．
故答案为：（0，(1)/(e+1)]．