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已知k为不超过50的正整数,使得对任意正整数n,2×36n+k×23n+1-1都能被7整除,则这样的正整数k有个.
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已知k为不超过50的正整数,使得对任意正整数n,2×36n+k×23n+1-1都能被7整除,则这样的正整数k有______个.
▼优质解答
答案和解析
2×36n+k×23n+1-1=2×272n+2k×8n-1=2×(28-1)2n+2k×(7+1)2n
=2×(-1)2n+2k-1=2k+1(mod7),
但2×36n+k×23n+1-1=0(mod7),
2k+1=0(mod7),即2k+1=7m(m为奇数),
因为1≤k≤50,所以3≤7m≤101,
故m=1、3、…13,相应的k=3、10、…、45共7个.
故答案为7.
=2×(-1)2n+2k-1=2k+1(mod7),
但2×36n+k×23n+1-1=0(mod7),
2k+1=0(mod7),即2k+1=7m(m为奇数),
因为1≤k≤50,所以3≤7m≤101,
故m=1、3、…13,相应的k=3、10、…、45共7个.
故答案为7.
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