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已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(1)=2.(1)求f(0)、f(3)的值;(2)判定f(x)的单调性;(3)若f(4x-a)+f(6+2x+1)>6对任意x恒成立,求实
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已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(1)=2.
(1)求f(0)、f(3)的值;
(2)判定f(x)的单调性;
(3)若f(4x-a)+f(6+2x+1)>6对任意x恒成立,求实数a的取值范围.
(1)求f(0)、f(3)的值;
(2)判定f(x)的单调性;
(3)若f(4x-a)+f(6+2x+1)>6对任意x恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0,
令x=y=1,则有f(2)=f(1)+f(1),
∴f(2)=4,
令x=2,y=1,则有f(3)=f(2)+f(1),
∴f(3)=6;
(2)任取x1,x2∈R,设x1<x2,∴x2-x1>0,又x>0时,f(x)>0,
则有f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函数;
(3)f(4x-a)+f(6+2x+1)>6恒成立,
由已知及(1)即为f(4x-a)+f(6+2x+1)>f(3)恒成立
∵f(x)是R上的增函数,
∴4x-a+6+2x+1>3恒成立,即4x+2×2x+3>a恒成立,
令g(x)=4x+2×2x+3=(2x+1)2+2
∵2x>0,
∴g(x)>3,
∴a≤3,
即实数a的取值范围为(-∞,3]
令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0,
令x=y=1,则有f(2)=f(1)+f(1),
∴f(2)=4,
令x=2,y=1,则有f(3)=f(2)+f(1),
∴f(3)=6;
(2)任取x1,x2∈R,设x1<x2,∴x2-x1>0,又x>0时,f(x)>0,
则有f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函数;
(3)f(4x-a)+f(6+2x+1)>6恒成立,
由已知及(1)即为f(4x-a)+f(6+2x+1)>f(3)恒成立
∵f(x)是R上的增函数,
∴4x-a+6+2x+1>3恒成立,即4x+2×2x+3>a恒成立,
令g(x)=4x+2×2x+3=(2x+1)2+2
∵2x>0,
∴g(x)>3,
∴a≤3,
即实数a的取值范围为(-∞,3]
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