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已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数.(1)已知集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16}分别求l(P),l(Q);(2)求l(
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已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数.
(1)已知集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16}分别求l(P),l(Q);
(2)求l(A)的最小值.
(1)已知集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16}分别求l(P),l(Q);
(2)求l(A)的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,
得l(P)=5
由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,
得l(Q)=6
(2)不妨设a1<a2<a3<…<an,可得
a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an,
故ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n-3个不同的数,即l(A)≥2n-3.
事实上,设a1,a2,a3,…,an成等差数列,考虑ai+aj(1≤i<j≤n),
根据等差数列的性质,当i+j≤n时,ai+aj=a1+ai+j-1;当i+j>n时,ai+aj=ai+j-n+an;
因此每个和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于al+an(2≤l≤n-1)中的一个.
故对这样的集合A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值为2n-3.
得l(P)=5
由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,
得l(Q)=6
(2)不妨设a1<a2<a3<…<an,可得
a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an,
故ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n-3个不同的数,即l(A)≥2n-3.
事实上,设a1,a2,a3,…,an成等差数列,考虑ai+aj(1≤i<j≤n),
根据等差数列的性质,当i+j≤n时,ai+aj=a1+ai+j-1;当i+j>n时,ai+aj=ai+j-n+an;
因此每个和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于al+an(2≤l≤n-1)中的一个.
故对这样的集合A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值为2n-3.
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