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(2013•南京)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a,m为常数,且a≠0).(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两
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(2013•南京)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a,m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,与y轴交于D点.
①当△ABC的面积为1时,求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,与y轴交于D点.
①当△ABC的面积为1时,求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:令y=0,a(x-m)2-a(x-m)=0,
△=(-a)2-4a×0=a2,
∵a≠0,
∴a2>0,
∴不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)①y=0,则a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0,
解得x1=m,x2=m+1,
∴AB=(m+1)-m=1,
y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-
)2-
,
△ABC的面积=
×1×|-
|=1,
解得a=±8;
②x=0时,y=a(0-m)2-a(0-m)=am2+am,
所以,点D的坐标为(0,am2+am),
△ABD的面积=
×1×|am2+am|,
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等,
∴
×1×|am2+am|=
×1×|-
|,
整理得,m2+m-
=0或m2+m+
=0,
解得m=
或m=-
.
△=(-a)2-4a×0=a2,
∵a≠0,
∴a2>0,
∴不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)①y=0,则a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0,
解得x1=m,x2=m+1,
∴AB=(m+1)-m=1,
y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-
1 |
2 |
a |
4 |
△ABC的面积=
1 |
2 |
a |
4 |
解得a=±8;
②x=0时,y=a(0-m)2-a(0-m)=am2+am,
所以,点D的坐标为(0,am2+am),
△ABD的面积=
1 |
2 |
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等,
∴
1 |
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1 |
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a |
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整理得,m2+m-
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解得m=
−1±
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