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(2013•天津)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA.(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B
题目详情
(2013•天津)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA.
(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;
(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.
①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).
(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;
(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.
①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)如图①,∵点A(-2,0),点B(0,4),
∴OA=2,OB=4.
∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°,
∴△OAE∽△OBA,
∴
=
,即
=
,
解得OE=1,
∴点E的坐标为(0,1);
(Ⅱ)①如图②,连接EE′.
由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2-m.
在Rt△A′BO中,由A′B2=A′O2+BO2,得A′B2=(2-m)2+42=m2-4m+20.
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,
∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.
∴∠BEE′=90°,EE′=m.
又∵BE=OB-OE=3,
∴在Rt△BE′E中,BE′2=E′E2+BE2=m2+9,
∴A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2(m-1)2+27.
当m=1时,A′B2+BE′2可以取得最小值,此时,点E′的坐标是(1,1).
②如图②,过点A作AB′⊥x,并使AB′=BE=3.
易证△AB′A′≌△EBE′,
∴B′A′=BE′,
∴A′B+BE′=A′B+B′A′.
当点B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.
易证△AB′A′∽△OBA′,
∴
=
=
,
∴
=
,AO=2,
∴AA′=
×2=
,
∴EE′=AA′=
,
∴点E′的坐标是(
,1).
∴OA=2,OB=4.
∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°,
∴△OAE∽△OBA,
∴
OA |
OB |
OE |
OA |
2 |
4 |
OE |
2 |
解得OE=1,
∴点E的坐标为(0,1);
(Ⅱ)①如图②,连接EE′.
由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2-m.
在Rt△A′BO中,由A′B2=A′O2+BO2,得A′B2=(2-m)2+42=m2-4m+20.
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,
∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.
∴∠BEE′=90°,EE′=m.
又∵BE=OB-OE=3,
∴在Rt△BE′E中,BE′2=E′E2+BE2=m2+9,
∴A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2(m-1)2+27.
当m=1时,A′B2+BE′2可以取得最小值,此时,点E′的坐标是(1,1).
②如图②,过点A作AB′⊥x,并使AB′=BE=3.
易证△AB′A′≌△EBE′,
∴B′A′=BE′,
∴A′B+BE′=A′B+B′A′.
当点B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.
易证△AB′A′∽△OBA′,
∴
AA′ |
A′O |
AB′ |
OB |
3 |
4 |
∴
AA′ |
AO |
3 |
7 |
∴AA′=
3 |
7 |
6 |
7 |
∴EE′=AA′=
6 |
7 |
∴点E′的坐标是(
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