求和高阶等差*等比数列1+2^2n+3^2n^2+4^2n^3+……+k^2n^(k-1)=?

Question

求和 高阶等差*等比数列
1+2^2n+3^2n^2+4^2n^3+……+k^2n^(k-1)=?

Answer 1

提示：
方法1.
令S=1+2^2n+3^2n^2+4^2n^3+……+k^2n^(k-1)
两边同乘n,
nS=n+2^2n^2+3^2n^3+4^2n^4+……+k^2n^k
两个等式相减得
（1-n)S=1+3n+5nn+...+(2k-1)n^(k-1)-k^2n^k
再如上法,相减就可以得到一个等比数列求和,然后可以化简了.
方法2.
令f(x)=1+x+xx+...+x^k.
两边求导,得
f'(x)=1+2x+3xx+...+kx^(k-1).
两边同乘以x.
f'(x)x=x+2xx+3xxx+...+kx^k
两边再求导,令x=n代入即可.
过程就不详述了.