试比较2^n与(n+1)^2的大小,并证明用数学归纳法n属于自然数

Question

试比较2^n与(n+1)^2的大小,并证明 用数学归纳法 n属于自然数

Answer 1

正整数永远左边大.
n=1时 左边大3
n=2时 左边大2
n=3时 左边大1
当n>=4时,左右两边的增量分别是
[ 2^(n+1)+2 ] - [ 2^n+2 ] = 2^n
(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
n=4时,2^n > 2n + 1
2^n = 4,2^(n+1) = 2^n + 4
2n + 1 = 5,2(n+1) + 1 = (2n + 1) + 2
n>4时,
2^(n+1) > 2^n + 4
2(n+1) + 1 = (2n + 1) + 2
所以一直有 2^n > 2n+1
所以一直有2^n+2 > n^2