直线L过点P(1,4),分别交X轴的正方向和Y轴的正方向于A、B两点.(1)当|PA|.|PB|最小时.求L的方程;(2)当|OA|+|OB|最小时,求L的方程[请在初8早上10点之前做出答复,

Question

直线L过点P(1,4),分别交X轴的正方向和Y轴的正方向于A、B两点.
(1)当|PA|.|PB|最小时.求L的方程;
(2)当|OA|+|OB|最小时,求L的方程
[请在初8早上10点之前做出答复,

Answer 1

(1)设直线L的截距式方程是x/a+y/b=1
则A的坐标是(a,0),B的坐标是(0,b)
|PA|=a,|PB|=b
因为直线过点P(1,4),代入点的坐标得
1/a+4/b=1
由均值不等式得
1≥2√[(1/a)(4/b)]
1≥4√(1/ab)
1/ab≤1/16
ab≥16,当1/a=4/b=1/2,a=2,b=8时取等号
即|PA|*|PB|在a=2,b=8时取最小值
此时直线L的方程是x/2+y/8=1
化为一般式是y=-4x+8
(2)因为上问中已经证明ab≥16,所以最小值为16
又因为a+b≥2√ab,所以a+b最小为8 列方程组
a+b=8 解得a=b=4,根据拮据式x/a+y/b=1,得y=4-x
{
ab=16