如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，点E是弧BD上一点，EF⊥AD于点F，且EF是⊙O的切线．（1）求证：弧DE=弧BE；（2）连接BE，若tan∠DAB=125，求tan∠B的值．

Question

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，点E是弧BD上一点，EF⊥AD于点F，且EF是⊙O的切线．
（1）求证：弧DE=弧BE；
（2）连接BE，若tan∠DAB=(12)/(5)，求tan∠B的值．

(12)/(5)，求tan∠B的值．(12)/(5)121255

Answer 1

（1）如图，连接OD、OE．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF．
又∵EF⊥AD于点F，
∴AF∥OE，
∴∠1=∠5，∠2=∠4，
∴∠5=∠4，
∴弧DE=弧BE；

（2）连接BD，AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵直角△ABD中，tan∠DAB=(BD)/(AD)=(12)/(5)，
∴设BD=12a，则AD=5a，
则直径AB=√(AD2+BD2)=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=(1)/(2)BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=√(OB2−BM2)=√((6.5a)2−(6a)2)=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (BD)/(AD)BDBDBDADADAD=(12)/(5)，
∴设BD=12a，则AD=5a，
则直径AB=√(AD2+BD2)=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=(1)/(2)BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=√(OB2−BM2)=√((6.5a)2−(6a)2)=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (12)/(5)121212555，
∴设BD=12a，则AD=5a，
则直径AB=√(AD2+BD2)=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=(1)/(2)BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=√(OB2−BM2)=√((6.5a)2−(6a)2)=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √(AD2+BD2)

AD2+BD2

AD2+BD2AD2+BD22+BD22=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=(1)/(2)BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=√(OB2−BM2)=√((6.5a)2−(6a)2)=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (1)/(2)111222BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=√(OB2−BM2)=√((6.5a)2−(6a)2)=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √(OB2−BM2)

OB2−BM2

OB2−BM2OB2−BM22−BM22=√((6.5a)2−(6a)2)=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √((6.5a)2−(6a)2)

(6.5a)2−(6a)2

(6.5a)2−(6a)2(6.5a)2−(6a)22−(6a)22=(5)/(2)a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (5)/(2)555222a，
∴ME=OE-OM=6.5a-(5)/(2)a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (5)/(2)555222a=4a，
在直角△BEM中，BE=√(ME2+MB2)=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √(ME2+MB2)

ME2+MB2

ME2+MB2ME2+MB22+MB22=√((4a)2+(6a)2)=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √((4a)2+(6a)2)

(4a)2+(6a)2

(4a)2+(6a)2(4a)2+(6a)22+(6a)22=2√(13)a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √(13)

13

1313a，
在直角△ABE中，AE=√(AB2−BE2)=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √(AB2−BE2)

AB2−BE2

AB2−BE2AB2−BE22−BE22=√((13a)2−52a2)=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √((13a)2−52a2)

(13a)2−52a2

(13a)2−52a2(13a)2−52a22−52a22=√(117)a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． √(117)

117

117117a，
∴tan∠B=(AE)/(BE)=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (AE)/(BE)AEAEAEBEBEBE=(√(117)a)/(2√(13)a)=(3)/(2)． (√(117)a)/(2√(13)a)√(117)a√(117)a√(117)

117

117117a2√(13)a2√(13)a2√(13)

13

1313a=(3)/(2)． (3)/(2)333222．