设f(x)=(e^x-e^-x)/2,g(x)=(e^x+e^-x)/2,求证(2)f(2x)=2f(x)·g(x),(注意“·”为乘号)(3)g(2x)=[g(x)]^2+[f(x)]^2

Question

设f(x)=(e^x-e^-x)/2,g(x)=(e^x+e^-x)/2,求证
(2)f(2x)=2f(x)·g(x),(注意“·”为乘号)
(3)g(2x)=[g(x)]^2+[f(x)]^2

Answer 1

证明：
(1)、f(2x)-2f(x)*g(x)
=[e^(2x)-e^(-2x)]/2-2*(e^x-e^-x)/2*(e^x+e^-x)/2
=[e^(2x)-e^(-2x)]/2-2*(e^x-e^-x)*(e^x+e^-x)/4
=[e^(2x)-e^(-2x)]/2-[(e^x)²-(e^-x)²]/2
=[e^(2x)-e^(-2x)]/2-[e^(2x)-e^(-2x)]/2
=0
所以f(2x)=2f(x)*g(x)
(2)、g(2x)-{[g(x)]^2+[f(x)]^2}
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2-[(e^x+e^-x)/2]²-[(e^x-e^-x)/2]²
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2-[e^(2x)+e^(-2x)+2*e^x*e^-x]/4-[e^(2x)+e^(-2x)-2*e^x*e^-x]/4
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2-[e^(2x)+e^(-2x)+2*e^x*e^-x+e^(2x)+e^(-2x)-2*e^x*e^-x]/4
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2-[e^(2x)+e^(-2x)]*2/4
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2-[e^(2x)+e^(-2x)]/2
=0
所以g(2x)=[g(x)]^2+[f(x)]^2

若嫌看不清楚,可以先设(e^x-e^-x)/2=A,(e^x+e^-x)/2=B来做