利用圆锥曲线定义求值的问题椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l,左右焦点分别为F1,F2,抛物线C2的准线也为l,焦点为F2,记C1与C2的一个交点为P,求F1F2/PF1-PF1/PF2的值.1)

Question

利用圆锥曲线定义求值的问题
椭圆C1:x^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l,左右焦点分别为F1,F2,抛物线C2的准线也为l,焦点为F2,记C1与C2的一个交点为P,求F1F2/PF1 - PF1/PF2 的值.
1 )

Answer 1

设点P到准线l的距离为Pl,椭圆离心率为e.
对于椭圆PF1+PF2=2a F1F2=2c PF1=e*Pl (左焦点为F1,左准线为l)
对于抛物线PF2=Pl (焦点为F2,准线为l)
有PF1=e*PF2
则PF1=e*2a/(1+e) PF2=2a/(1+e)
F1F2/PF1-PF1/PF2=2c/[e*2a/(1+e)]-e
=(1+e)*(c/a)/e-e=(1+e)*e/e-e=(1+e)-e=1