已知,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O,BE垂直AC于点E,CF垂直BD于点F,求证:四边形EBCF是等腰梯形

Question

已知,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O,BE垂直AC于点E,CF垂直BD于点F,求证:四边形EBCF是等腰梯形

Answer 1

证法一：
过O作直线MN⊥BC,则ABCD是关于MN的轴对称图形,∴△ABC、△DCA关于MN对称,
∵BE、CF是轴对称三角形中由对称顶点向对称边所作的高,∴BE、CF关于MN对称,
∴BE＝CF,
∵E、F关于MN对称,∴EF⊥MN,显然BC⊥MN,∴EF∥BC,
∵BE＝CF,EF∥BC,∴EBCF是等腰梯形.
证法二：
∵BE⊥CE,CF⊥BF,∴E、B、C、F共圆,
易知∠ECA＝∠FAC,∴BE＝CF,进而得：EF∥BC.［同圆中,夹等弦的直线平行］
∴EBCD是等腰梯形.