计算lnxdx区间（0,1）的广义积分

Question

计算lnxdx区间（0,1）的广义积分

Answer 1

用分部积分,得到上式=xlnx|x=1-xlnx|x=0-[xdlnx在（0,1）的积分]
而xlnx在x=1时为0,而xlnx在x=0时为0（这里要用L'Hospital法则得到当x趋于0时,lnx为x的负的任意小的阶,即如果我们要计算（x^a）*lnx当x趋于0时的极限,这里a是一个任意小的正数,由于x^a趋于0,lnx趋于负无穷,故用L'Hospital法则,将（x^a）*lnx写作lnx/x^(-a),再运用无穷比无穷的L'Hospital法则,上下两式都对x求导得(1/x)/(-ax^(-a-1))=(-1/a)x^a,当x趋于0时,对任意a>0,(-1/a)x^a都趋于0,所以|xlnx|其实小于等于常数倍的x的（1-a）的阶,而x^(1-a)当x=0时为0,所以xlnx在x=0时为0）,xdlnx=x*(1/x)dx=dx,dx在（0,1）的积分＝1,综上,lnxdx区间（0,1）的广义积分为-1