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已知三角形ABC的顶点A、B在椭圆x²+3y²=4上,点C在直线l:y=x+2上,且AB//l.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及三角形ABC的面积;(2)当角ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
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已知三角形ABC的顶点A、B在椭圆x²+3y²=4上,点C在直线l:y=x+2上,且AB//l.
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及三角形ABC的面积;
(2)当角ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及三角形ABC的面积;
(2)当角ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
▼优质解答
答案和解析
1.设AB所在直线的方程为y=x
与x²+3y²=4联立得
x²-1=0
设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)
AB=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
AB=2√2
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=|0-2|/√2=√2
S△ABC=1/2 |AB|•h=2
2.设AB所在直线的方程为y=x+m
与x²+3y²=4联立得
4x²+6mx+3m²-4=0
x1+x2=-3m/2
x1x2=(3m²-4)/4
所以|AB|=√2|x1-x2|=√(32-6m²)/2
因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=|2-m|/√2
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-(m+1)²+11
所以当m=-1时,AC边最长,(这时△=-12+64>0)
此时AB所在直线的方程为y=x-1
与x²+3y²=4联立得
x²-1=0
设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)
AB=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
AB=2√2
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=|0-2|/√2=√2
S△ABC=1/2 |AB|•h=2
2.设AB所在直线的方程为y=x+m
与x²+3y²=4联立得
4x²+6mx+3m²-4=0
x1+x2=-3m/2
x1x2=(3m²-4)/4
所以|AB|=√2|x1-x2|=√(32-6m²)/2
因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=|2-m|/√2
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-(m+1)²+11
所以当m=-1时,AC边最长,(这时△=-12+64>0)
此时AB所在直线的方程为y=x-1
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