已知直线l（2a+1）x+(a+1)y=7a+4与圆c(x-1)^2+（y-2)^2=25.(1)证明对任意实数a,直线l与圆c都有两个交点A和B；(2)当实数a取何值时,AB的长度最小.

Question

已知直线l（2a+1）x+(a+1)y=7a+4与圆c(x-1) ^2+（y-2) ^2=25.
(1)证明对任意实数a,直线l与圆c都有两个交点A和B；
(2)当实数a取何值时,AB的长度最小.

Answer 1

1、
把直线整理得到(2x+y-7)a=-x-y+4
则2x+y-7=0且-x-y+4=0时恒成立
所以x=3,y=1
所以直线过定点(3,1)
他到圆心(1,2)距离=√5小于半径
所以在圆内
所以直线一定和圆有两个交点
2、
AB最短则垂直过(3,1)的直径
此直径斜率=-1/2
所以AB是2
所以是2x-y-5=0
所以(2a+1)/(a+1)=-2
a=-3/4