已知三角形三条边为3,4,6,求三角形的面积.我就是不知道三角形长边c²=a²+b²-2abcosθ（两短边的夹角为θ），以及公式怎么来的。还有海伦公式的由来。

Question

已知三角形三条边为3,4,6,求三角形的面积.
我就是不知道三角形长边c²=a²+b²-2abcosθ（两短边的夹角为θ），
以及公式怎么来的。
还有海伦公式的由来。

Answer 1

设3、4两边的夹角为θ：
6^2=3^2+4^2-2*3*4cosθ
cosθ=-11/24
sinθ=根号[1-(-11/24)^2]=根号455 /24
面积=1/2*3*4*根号455 /24=根号455 /4
【问题补充：我就是不知道三角形长边c²=a²+b²-2abcosθ（两短边的夹角为θ）】
这个是余弦定理.
推导过程如下：
三角形ABC,做AD⊥BC
CD=ACcosC
AD=ACsinC
BD=BC-CD=BC-ACcosC
AB^2=BD^2+AD^2=(BC-ACcosC)^2+(ACsinC)^2
=BC^2-2BC*AC*cosC+AC^2cos^2C+AC^2sin^2C
=BC^2+AC^2-2BC*AC*cosC
相当于：c²=a²+b²-2abcosC
【面积公式的由来】
三角形ABC,做AD⊥BC
AD=ACsinC
S△ABC=1/2BC*AD=1/2BC*ADsinC=1/2absinC
【海伦公式的由来】
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*根号(1-cos^2 C)
=1/2*ab*根号[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*根号[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*根号[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*根号[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*根号[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=根号[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]