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关于三角形面积的一个证明在三角形ABC(任意三角形)中,D为AC上任意一点,E为AB上任意一点.连接DE、BD、CE,BD和CE的交点记为O.求证:三角形面积比S△ade/S△abc=S△ode/S△obc.
题目详情
关于三角形面积的一个证明
在三角形ABC(任意三角形)中,D为AC上任意一点,E为AB上任意一点.连接DE、BD、CE,BD和CE的交点记为O.求证:三角形面积比 S△ade/S△abc=S△ode/S△obc.
在三角形ABC(任意三角形)中,D为AC上任意一点,E为AB上任意一点.连接DE、BD、CE,BD和CE的交点记为O.求证:三角形面积比 S△ade/S△abc=S△ode/S△obc.
▼优质解答
答案和解析
设m=S△ADE/S△ABC,n=S△ODE/S△OBC
m=S△ADE/S△ABC=OE*OD/(OB*OC)(1)(运用s=1/2absinC均表长度,下同)
n=S△ODE/S△OBC=AE*AD/(AC*AB)(2)
这两组的线段关系太远,思路是尽量往△ABC的边靠.所以(2)不动,变化(1)
OD/OB再转化成面积比,△CDE和△OBC是同底,所以面积比就是高之比,又高之比为OD/OB所以
OD/OB=S△CDE/S△EBC(3)同理OE/OC=S△BDE/S△DBC
记住原则往大三角形靠.
所以OD/OB=S△CDE/S△EBC=(S△CDE/S△AEC)/(S△EBC/S△AEC)=(CD/AC)/(BE/AE)=CD*AE/(AC*BE)
OE/OC=S△BDE/S△DBC=(S△BDE/S△ABD)/(S△DBC/S△ABD)=(BE/AB)/(CD/AD)
=(BE*AD)/(CD*AB)
所以就有n=S△ODE/S△OBC=(OD/OB)*(OE/OC)=[CD*AE/(AC*BE)]*[(BE*AD)/(CD*AB)]=AE*AD/(AC*AB)=m
m=S△ADE/S△ABC=OE*OD/(OB*OC)(1)(运用s=1/2absinC均表长度,下同)
n=S△ODE/S△OBC=AE*AD/(AC*AB)(2)
这两组的线段关系太远,思路是尽量往△ABC的边靠.所以(2)不动,变化(1)
OD/OB再转化成面积比,△CDE和△OBC是同底,所以面积比就是高之比,又高之比为OD/OB所以
OD/OB=S△CDE/S△EBC(3)同理OE/OC=S△BDE/S△DBC
记住原则往大三角形靠.
所以OD/OB=S△CDE/S△EBC=(S△CDE/S△AEC)/(S△EBC/S△AEC)=(CD/AC)/(BE/AE)=CD*AE/(AC*BE)
OE/OC=S△BDE/S△DBC=(S△BDE/S△ABD)/(S△DBC/S△ABD)=(BE/AB)/(CD/AD)
=(BE*AD)/(CD*AB)
所以就有n=S△ODE/S△OBC=(OD/OB)*(OE/OC)=[CD*AE/(AC*BE)]*[(BE*AD)/(CD*AB)]=AE*AD/(AC*AB)=m
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