(本小题满分12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱

Question

(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有 n （ ）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在 A 柱上，现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子 A 、B 、C 可供使用．

现用 a _n 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)   写出 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，并求出 a _n ；
(2)   记 ，求和 （ ）；
（其中 表示所有的积 的和）
(3)   证明： ．

(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有 n （ ）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在 A 柱上，现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子 A 、B 、C 可供使用．

现用 a _n 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)   写出 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，并求出 a _n ；
(2)   记 ，求和 （ ）；
（其中 表示所有的积 的和）
(3)   证明： ．

(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有 n （ ）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在 A 柱上，现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子 A 、B 、C 可供使用．

现用 a _n 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)   写出 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，并求出 a _n ；
(2)   记 ，求和 （ ）；
（其中 表示所有的积 的和）
(3)   证明： ．

(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有 n （ ）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在 A 柱上，现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子 A 、B 、C 可供使用．

现用 a _n 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)   写出 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，并求出 a _n ；
(2)   记 ，求和 （ ）；
（其中 表示所有的积 的和）
(3)   证明： ．

(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有 n （ ）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在 A 柱上，现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子 A 、B 、C 可供使用．

现用 a _n 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)   写出 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，并求出 a _n ；
(2)   记 ，求和 （ ）；
（其中 表示所有的积 的和）
(3)   证明： ．

n A A C A 、B 、C

a _{n n} n A C
a ₁ a ₂ a ₃ a _{n n}

Answer 1

（1） （2） （3）略

（1） （2） （3）略

（1） （2） （3）略

（1） （2） （3）略

（1） （2） （3）略

（1） （2） （3）略

(1)
事实上，要将 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 个圆盘转移到 B 柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到 C 柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到 C 柱上，需要 次转移，所以有
则 ，所以
(2)
则

（ ）
(3) 令 ，则当 时


又 ，所以对一切 有：


另方面 恒成立，所以对一切 有

综上所述有：

(1)
事实上，要将 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 个圆盘转移到 B 柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到 C 柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到 C 柱上，需要 次转移，所以有
则 ，所以
(2)
则

（ ）
(3) 令 ，则当 时


又 ，所以对一切 有：


另方面 恒成立，所以对一切 有

综上所述有：

(1)
事实上，要将 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 个圆盘转移到 B 柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到 C 柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到 C 柱上，需要 次转移，所以有
则 ，所以
(2)
则

（ ）
(3) 令 ，则当 时


又 ，所以对一切 有：


另方面 恒成立，所以对一切 有

综上所述有：

(1)
事实上，要将 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 个圆盘转移到 B 柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到 C 柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到 C 柱上，需要 次转移，所以有
则 ，所以
(2)
则

（ ）
(3) 令 ，则当 时


又 ，所以对一切 有：


另方面 恒成立，所以对一切 有

综上所述有：

(1)
事实上，要将 个圆盘全部转移到 C 柱上，只需先将上面 个圆盘转移到 B 柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到 C 柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到 C 柱上，需要 次转移，所以有
则 ，所以
(2)
则

（ ）
(3) 令 ，则当 时


又 ，所以对一切 有：


另方面 恒成立，所以对一切 有

综上所述有：

(1)
事实上，要将 个圆盘全部转移到 C C 柱上，只需先将上面 个圆盘转移到 B B 柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到 C C 柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到 C C 柱上，需要 次转移，所以有
则 ，所以
(2)
则

（ ）
(3) 令 ，则当 时


又 ，所以对一切 有：


另方面 恒成立，所以对一切 有

综上所述有：