括号内为下标:S(n)为a(n)的前n项和.a(1)=a,a(n+1)=S(n)+3^n.设b(n)=S(n)-3^n,求求数列｛b(n)｝的通项公式

Question

括号内为下标:S(n)为a(n)的前n项和.a(1)=a,a(n+1)=S(n)+3^n.设b(n)=S(n)-3^n,求求数列｛b(n)｝的通项公式

Answer 1

a(n+1)=S(n)+3^n
S(n+1)-Sn=S(n)+3^n
S(n+1)/3^n=2S(n)/3^n+1
3S(n+1)/3^(n+1)=2S(n)/3^n+1
Xn=S(n)/3^n,则
3X(n+1)=2Xn+1
3(X(n+1)-1)=2(Xn-1)
Yn=Xn-1
则3Y(n+1)=2Yn
Y(n+1)/Yn=2/3
Y1=2X1-1=2S(1)/3 - 1=2a/3-1
Yn=Y1*(2/3)^(n-1)
=(2a/3-1)*(2/3)^(n-1)
Xn=Yn+1
=(2a/3-1)*(2/3)^(n-1) + 1
Sn=3^n*Xn
=3^n*((2a/3-1)*(2/3)^(n-1) + 1)
=(2a/3-1)*(3*2^(n-1) + 3^n)
=(2a-3)2^(n-1)+(2a/3-1)3^n
Bn=Sn-3^n
=(2a-3)2^(n-1)+(2a/3-1)3^n-3^n
=(2a-3)2^(n-1)+(2a/3-2)3^n