已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.（1）求双曲线C2的方程（2）若直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,

Question

已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.
（1）求双曲线C2的方程
（2）若直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OA*OB大於2（其中O为原点）,求k的范围

Answer 1

设双曲线C2的方程为：x²/a’²-y²/b’²=1.
∵椭圆C1的方程为x²/4+y²=1
∴a=2,b=1
∴c²=a²-b²=3,即c=√3
又∵双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.
∴a’=c=√3,c’=a=2
∴b’²=c’²-a’²=1,即b’=1
∴双曲线C2方程为：x²/3-y²=1（x≥|2|）；
（2）直线y=kx+√2,双曲线x²/3-y²=1
两个方程联立,并化简,得：
（1-3k²）x²-6√2kx-9=0,
∵直线y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B
∴△=（-6√2k）²-4*（1-3k²）*（-9）＞0
即k²+1＞0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）
则有x1+x2=6√2k/（1-3k²）,x1*x2=-9/（1-3k²）
∴y1*y2=（kx1+√2）（kx2+√2）
=k²x1x2+√2k（x1+x2）+2
=-9k²/（1-3k²）+12k²/（1-3k²）+2
=（2-3k²）/（1-3k²）
OA*OB=x1x2+y1y2
=-9/（1-3k²）+（2-3k²）/（1-3k²）
==（3k²+7）/（3k²-1）＞2
∴-√3＜k＜√3
故k的范围为：-√3＜k＜√3.