在△ABC中设BC=aAC=bAB=c,Ha,Hb,Hc分别是边BC,AC,AB上的高若a+Ha=b+Hb=c+Hc,则三角形的形状

Question

在△ABC中 设BC=a AC=b AB=c,Ha,Hb,Hc 分别是边BC,AC,AB上的高 若a+Ha=b+Hb=c+Hc,则三角形的形状

Answer 1

三角形的形状为等边三角形.
证明：反证法：
命题1：三角形为不等腰三角形
即：a ≠ b,Ha ≠ Hb
S = a/2 x Ha = b/2 x Hb
可以得出：
a x Ha = b x Hb
a = b x Hb/Ha
根据原有条件已知：
a + Ha = b x Hb/Ha + Ha = b + Hb
可以得出：
b x ( 1 – Hb/Ha ) = Ha – Hb
b/Ha x ( Ha – Hb ) = Ha – Hb
b/Ha = 1
b = Ha
通过图解可以看出,这个三角形是一个等腰直角三角形,而命题一开始确定 :a ≠ b
结论 :命题1不成立
命题2：ABC为等腰不等边三角形
即：a ≠ b,Ha ≠ Hb
同样的论证方式可以证明,命题2不成立
结论：ABC为等边三角形.