三角形的三边长分别为3,4,5,各边都与半径为2的球相切,求：1）三角形所在平面到球心的距离;2)三角形各边到球心的距离；3）三角形各顶点到球心的距离；

Question

三角形的三边长分别为3,4,5,各边都与半径为2的球相切,求：
1）三角形所在平面到球心的距离;
2)三角形各边到球心的距离；
3）三角形各顶点到球心的距离；

Answer 1

球与三角形相切,那么必定有一个三角形的圆截面与该三角形内切（如图）
2、球与三角形相切,所以三角形各边到球心的 距离均 为球的半径r=2
1、由勾股定理可知.该三角形为直角三角形.
设该截面圆的半径为R,圆心为O,该直角三角形为ABC,
则 √（OA^2-R^2) +R=3
√（OC^2-R^2) +R =4
√（OA^2-R^2)+√（OC^2-R^2)=5
联立以上三式,解得
R=1 ,OA=2√2,OB=√2,OC=√3
三角形所在平面到球心的距离D=√(r^2-R^2)=√(2^2-1^2)=√3
3、三角形各顶点到球心的距离
A到球心的距离=√(D^2+OA^2)=√（3+8）=√11
B到球心的距离=√(D^2+OB^2)=√（3+2）=√5
C到球心的距离=√(D^2+OC^2)=√（3+3）=√6
补充一句：球心与o的连线垂直于三角形所在平面!