已知椭圆的焦点是F1（0，-1）和F2（0，1），离心率e=12，（I）求此椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P在此椭圆上，且有|PF1|-|PF2|=1，求∠F1PF2的余弦值．

Question

已知椭圆的焦点是F₁（0，-1）和F₂（0，1），离心率e=(1)/(2)，
（I）求此椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P在此椭圆上，且有|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

（I）由已知可设椭圆的方程为：(x2)/(b2)+(y2)/(a2)=1（a＞b＞0），…（2分）
由条件知c=1，e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，
解得a=2，…（4分）
所以b²=a²-c²=3．…（5分）
所以椭圆的标准方程方程为(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1…（6分）
（Ⅱ）因为点P在椭圆(y2)/(4)+(x2)/(3)＝1上，
 所以|PF₁|+|PF₂|=2a=4；…（8分）
又因为|PF₁|-|PF₂|=1，解得|PF₁|=(5)/(2)，|PF₂|=(3)/(2)，…（10分）
在△ABC中，cos∠F1PF2＝(|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2)/(2|PF1||PF2|)=(((5)/(2))2+((3)/(2))2−22)/(2×(5)/(2)×(3)/(2))＝(3)/(5)，
所以∠F₁PF₂的余弦值为(3)/(5)．    …（12分）